Représentation de Fresnel
Commentaires :
Dans la représentation de Fresnel, on associe à la grandeur y1(t) =
A.sin(wt + j1) un vecteur
V1 qui tourne autour de l'origine avec la vitesse angulaire constante w.
La grandeur physique étudiée est la projection de ce vecteur sur
l'axe vertical Oy.
Attention :
Dans le cas où les grandeurs étudiées sont des grandeurs vectorielles, les vecteurs tournants
de la représentation de Fresnel représentent l'évolution des amplitudes au cours du temps.
Ils ne correspondent pas à la direction des vibrations.
Quand on étudie les
phénomènes d'interférences optiques, les vibrations qui peuvent interférer doivent
avoir la même
direction de vibration et être cohérentes.
Somme de deux vibrations de même fréquence et cohérentes.
Soient y1(t) =
A.sin(wt + j1)et
y2(t) = B.sin(wt +
j2) les amplitudes de deux vibrations.
A y1(t) on associe le vecteur V1 et à y2(t)
le vecteur V2.
L'amplitude de la vibration résultante y(t) = y1(t) + y2(t) est la projection du vecteur V = V1 +
V2 sur l'axe Oy.
Lors de la rotation, le parallélogramme
formé par l'origine et les extrémités des trois vecteurs tourne autour de l'origine
sans se déformer.
La représentation de Fresnel met en évidence les différences de phase entre les grandeurs
à additionner et permet de déterminer facilement l'expression analytique de
la somme des deux ou de plusieurs vibrations.
On voit immédiatement
que la projection x du vecteur somme sur Ox est la somme des projections x1
et x2 sur Ox des deux grandeurs. Il en va de même pour les projections
y, y1 et y2 sur Oy.
Donc le carré de l'amplitude de
la somme (proportionnel à l'intensité lumineuse) est C2 = (x1
+ x2)2 + (y1 + y2)2.
Les
relations métriques dans les triangles donnent également C2 = A2
+ B2 + 2A.B.cos(j).
Si on écrit y1(t) et y2(t) sous la forme y1(t)
= a.cos(wt) et y2(t) = b.sin(wt)
on voit que la somme est y(t) = C.cos(wt - j)
avec C2 = a2 + b2 et tg(j)
= b/a.
L'applet :
La partie gauche de l'animation présente trois vecteurs tournants.
Le
vecteur rouge est la somme des vecteurs vert et bleu qui correspondent à des
grandeurs de même fréquence et cohérentes.
En glissant le curseur rouge avec la souris, on peut modifier leur différence de phase.
Il est aussi possible de modifier les amplitudes relatives des deux grandeurs
en glissant le curseur vert avec la souris.
L'amplitude de la vibration
résultante est la projection (en blanc) du vecteur rouge sur l'axe Oy .
La partie droite représente l'évolution temporelle des amplitudes des
grandeurs étudiées et de leur somme.
Une pression sur le bouton droit de la souris permet de geler l'animation.
Augustin FRESNEL (1788-1827) Fondateur de la théorie ondulatoire de la lumière.
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